Es wurde gezeigt (siehe Link), daß bei Gültigkeit des logarithmischen Ansatzes
(1) T = S * ln(C/C0) = S * ln(1 + (C-C0)/C0) (mit S = 2,5°C)
die Ableitung dm/dT der Formel (2) folgt:
(2) dm/dT = 7,814/S * C(m)/AF(m) = 3,125 * C(m)/AF(m) Gt/°C
Aus diesem Grunde ist es interessant, sich die Tendenzen über m von Konzentrationen C(m) und Airborne Fractions AF(m) für die verschiedenen Szenarien anzusehen:
Abb. 1 | CO2-Konzentrationen der Szenarien über der kumulierten Emission m
Abb. 1 zeigt, daß die mit dem Bern-CC-Modell berechneten Konzentrationen über den kumulativen Emissionen m einen relativ linearen Verlauf haben, der für große m etwas unterhalb der Geraden
(3) C(m) <= 0,55 * 0,128 * m + 295 (ppm)
liegt. Die Konstanten sind dabei: 0,55 = mittl. kumulative Airborne Fraction; 0,128 = Umrechnungsfaktor Gt in ppm; 295 = C0.
Abb. 2 | Airborne Fractions der Szenarien über der kumulierten Emission m
Abb. 2 zeigt, daß die Airborne Fraction AF bis 2018 von ca. 55 % auf ca. 52 % gesunken ist. Diese Tendenz bleibt bei Gültigkeit des Bern-CC-Modells für die „Weiter wie bisher“-Szenarien 9.0 und RCP 8.5 erhalten. Man kann sie durch Formel (4) näherungsweise beschreiben:
(4) AF(m) = 0,55 – m/53300
Also gilt näherungsweise (Einsetzen der Formeln (3) und (4) in (2)):
(5) dm/dT = 3,125 * (0,55 * 0,128 * m + 295)/(0,55 – m/53300)
Abb. 1 in „dm/dT konstant ?“ läßt vermuten, daß dm/dT näherungsweise linear mit m wächst. Für dm/dT kann man damit ansetzen:
(6) dm/dT = (m+b)/a
Durch Integration von dT/dm = a/(m+b) erhält man dann für die Temperatur T:
(7) T(m) = a * ln(1+m/b)
Es gilt T(0) = 0. Da m=2100 Gt CO2-Emissionen (entsprechend 44o ppm) zu 1 °C Erwärmung führen werden (denn 2,5*ln(440/295)=1), muß gelten:
(8) b = 2100/(exp(1/a) – 1)
Ermittlung einer linearen unteren Schranke für dm/dT
Formel (2) ist eine theoretisch korrekte Beschreibung von dm/dT auf der Grundlage des logarithmischen Ansatzes (1) für die globale Erwärmung. Der lineare Ansatz für dm/dT nach Formel (6) ist hingegen eine Näherung.
Das Ziel ist, den Parameter a von Formel (6) so zu bestimmen, daß für alle m>0 gilt:
(9) dm/dT = 1/a * (m+2100/(exp(1/a)-1)) < 3,125*C(m)/AF(m)
Der Parameter a wird so bestimmt, daß das Minimum der Differenz der beiden Ausdrücke der Ungleichung (9) maximal wird: a = 2,055 °C.
Das Ergebnis ist in Abb. 3 dargestellt und wird mit den dm/dT-Ableitungen verschiedener Szenarien (siehe Link) verglichen:
Abb. 3 | Test der untere Abschätzung dm/dT = (m+3350)/2,055 mit verschiedenen Szenarien
Man sieht, daß die Ableitungen dm/dT der Szenarien bis auf eine Ausnahme oberhalb der gefundenen Geraden (rot gestrichelt) liegen. Die Ausnahme ist das extreme Szenario 8.5 (vgl. Anmerkung dazu unter RCP-Szenarien), das annimmt, daß die seit ca. 50 Jahren beobachtete CO2-Pro-Kopf-Emission von ungefähr 5 t/Jahr bis 2080 auf 8 t/Jahr ansteigt: Zwischen m=2000 und m=5000 liegen die dm/dT-Werte von RCP 8.5 praktisch auf der rot gestrichelten Geraden.
Die hellblaue (durchgezogene) dm/dT-Kurve des „Weiter wie bisher“-Szenarios 9.0 setzt die Tendenz der dunkelblauen aus Meßwerten ermittelten Ableitung fort.
Obere Schranke für aus m Gt CO2-Emissionen resultierende globale Erwärmung
Die Integration des Kehrwerts der unteren Schranke für dm/dT ergibt nach den Formeln (7) und (8) eine obere Schranke für die aus m Gt CO2-Emissionen resultierende globale Erwärmung T:
(10) T <= a * ln(1+m/b) mit a=2,055 °C und b=3350 Gt.
Anmerkung: Die tatsächlich gemessene mittlere globale Temperatur kann von dem in Formel (10) bestimmten Wert durch Überlagerungen von AMO und deVries/Suess-Zyklus ± 0,15°C abweichen, wobei diese Abweichung mit Hilfe von Abb. 4 kalkulierbar ist:
Abb. 4 | Die anthropogene Erwärmung wird durch die Überlagerung natürlicher Zyklen kalkulierbar verstärkt oder abgeschwächt
Hinzu kommen die von Jahr zu Jahr zu beobachtenden zufälligen (normalverteilten) Schwankungen (natürliche Variabilität) mit einer Standardabweichung σ=0,1°C, die Abweichungen von ±2σ verursachen können.
Ein Vergleich mit den aus verschiedenen RCP-Szenarien extrapolierten globalen Erwärmungen zeigt, daß man die nach Emission von m Gt CO2 zu erwartende mittlere globale Temperatur mit der gefundenen Schranke (Formel (10)) nach oben abschätzen kann:
Abb. 5 | Die aus verschiedenen Szenarien resultierende globale Erwärmung mit oberer Abschätzung
Die Temperaturschätzungen weichen umso mehr nach oben ab (bis zu 0,4 °C), je weniger CO2 bis zum Jahr 2100 emittiert werden wird. Der Vorteil der Abschätzung
T = 2,055 * ln(1+m/3350)
besteht darin, kumulierten CO2-Emissionen in einfachster Weise eine obere Abschätzung der resultierenden globalen Erwärmung zuordnen zu können bzw. umgekehrt aus Abb. 5 ablesen zu können, daß z.B. eine kumulierte Emission von 5500 Gt CO2 unproblematisch wäre, wenn das 2°-Ziel von Paris eingehalten werden soll.